Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hàm số $f(x) = \log_{2}\sqrt{x + \sqrt{x^{2} + 4}}$. Những phương án nào dưới đây

Câu hỏi số 858892:
Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \log_{2}\sqrt{x + \sqrt{x^{2} + 4}}$. Những phương án nào dưới đây đúng?

Đáp án đúng là: A; B

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:858892
Phương pháp giải

1. Chứng minh $\sqrt{x^{2} + 4} + x > 0,\,\,\forall x \in {\mathbb{R}}$

2. Chứng minh $f'(x) > 0,\,\,\forall x \in {\mathbb{R}}$

3. Giải bất phương trình

4. Chứng minh $I\left( {0;1} \right)$ không là tâm đối xứng

5. Sử dụng $f(x) + f\left( {- x} \right) = 1$

Giải chi tiết

1. Đúng.

Ta có: $\left. x^{2} + 4 > x^{2}\Rightarrow\sqrt{x^{2} + 4} > \sqrt{x^{2}} = |x|,\,\,\forall x \in {\mathbb{R}} \right.$

Mà $|x| \geq - x$ nên $\sqrt{x^{2} + 4} > - x,\,\,\forall x \in {\mathbb{R}}$

Do đó $\sqrt{x + \sqrt{x^{2} + 4}} > 0,\,\,\forall x \in {\mathbb{R}}$

Vậy tập xác định của hàm số $f(x) = \log_{2}\sqrt{x + \sqrt{x^{2} + 4}}$ là $\mathbb{R}$

2. Đúng.

Ta có: $f'(x) = \dfrac{\dfrac{1 + \dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 4}}}{2\sqrt{x + \sqrt{x^{2} + 4}}}}{\sqrt{x + \sqrt{x^{2} + 4}.}\ln 2} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}}}{2\left( {x + \sqrt{x^{2} + 4}} \right)\ln 2} > 0,\,\,\forall x \in {\mathbb{R}}$

Vậy $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

3. Sai.

Ta có:

$\begin{array}{l} {\log_{2}\sqrt{x + \sqrt{x^{2} + 4}} \leq 1} \\ \left. \Leftrightarrow x + \sqrt{x^{2} + 4} \leq 4 \right. \\ \left. \Leftrightarrow 0 < \sqrt{x^{2} + 4} < 4 - x \right. \\ \left. \Leftrightarrow x^{2} + 4 \leq x^{2} - 8x + 16\,\,\left( {x < 4} \right) \right. \\ \left. \Leftrightarrow 8x \leq 12 \right. \\ \left. \Leftrightarrow x \leq \dfrac{3}{2}\,\,\left( {TM} \right) \right. \end{array}$

Mà $x$ nguyên dương nên $x = 1$

4. Sai.

Gọi $M\left( {x_{M};\log_{2}\sqrt{x_{M} + \sqrt{x_{M}^{2} + 4}}} \right) \in (C)$

Gọi $M'$ đối xứng của $M$ qua $I\left( {0;1} \right)$

Do đó $M'\left( {- x_{M};2 - \log_{2}\sqrt{x_{M} + x_{M}^{2} + 4}} \right)$

Ta có: $2 - \log_{2}\sqrt{x_{M} + \sqrt{x_{M}^{2} + 4}} = \log_{2}\sqrt{- x_{M} + \sqrt{x_{M}^{2} + 4}}$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow 2 = \log_{2}\sqrt{x_{M}^{2} + 4 - x_{M}^{2}} \right. \\ \left. \Leftrightarrow 2 = 1 \right. \end{array}$

Do đó $I\left( {0;1} \right)$ không phải tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho

5. Sai.

Xét

$\begin{array}{l} {f(x) + f\left( {- x} \right)} \\ {= \log_{2}\sqrt{x + \sqrt{x^{2} + 4}} + \log_{2}\sqrt{- x + \sqrt{x^{2} + 4}}} \\ {= \log_{2}\sqrt{\left( {x + \sqrt{x^{2} + 4}} \right)\left( {\sqrt{x^{2} + 4} - x} \right)}} \\ {= \log_{2}\sqrt{x^{2} + 4 - x^{2}}} \\ {= \log_{2}\sqrt{4}} \\ {= 1} \end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l} {T = \left\lbrack {f(2026) + f\left( {- 2026} \right)} \right\rbrack + \left\lbrack {f(2025) + f\left( {- 2025} \right)} \right\rbrack + \ldots + \left\lbrack {f(1) + f\left( {- 1} \right)} \right\rbrack + f(0)} \\ {= 2026.1 + 1} \\ {= 2027} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A; B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn