Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{3}$. Gọi $I$ là trung điểm của
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{3}$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là trung điểm $H$ của $CI$. Biết góc giữa $SA$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng $45^{0}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $\left( {SBC} \right)$. Những phương án nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: A; B; D
Quảng cáo
1.
Chứng minh $\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,AH} \right) = \angle SAH = 45{^\circ}$
Sử dụng định lí Pythagore tính $AH$, từ đó tính được $SH$
2.
Kẻ $GK \parallel SH\,\,\left( {K \in HM} \right)$
$V_{G.ABC} = \dfrac{1}{3}GK.S_{ABC}$
3.
Kẻ $HN\bot BC\,\,\left( {N \in BC} \right)$
Khi đó $\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SN,HN} \right) = \angle SNH$
4.
Kẻ $HL\bot SI\,\,\left( {L \in SI} \right)$. Khi đó $HL\bot\left( {SAB} \right)$
$d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = 2HL$
5.
Gọi $CG \cap SB = Q$. Khi đó $d\left( {SA,CG} \right) = d\left( {A,\left( {IQC} \right)} \right)$
Gọi $N$ là trung điểm của $BH$ và $AN \cap IH = P$
Khi đó $\dfrac{d\left( {A,\left( {IQC} \right)} \right)}{d\left( {N,\left( {IQC} \right)} \right)} = \dfrac{AP}{NP} = 2$
1. Đúng.
$\Delta ABC$ đều nên $IH = \dfrac{1}{2}CI = \dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{3}{4}$
Ta có: $\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,AH} \right) = \angle SAH$
Theo giả thiết $\angle SAH = 45{^\circ}$
Khi đó $\Delta SAH$ vuông cân tại $H$
Suy ra $SH = AH = \sqrt{AI^{2} + HI^{2}} = \sqrt{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2} + \left( \dfrac{3}{4} \right)^{2}} = \dfrac{\sqrt{21}}{4}$
2. Đúng.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$
Kẻ $GK \parallel SH\,\,\left( {K \in HM} \right)$
Theo định lí Thales ta có $GK = \dfrac{SH}{3} = \dfrac{\sqrt{21}}{4.3} = \dfrac{\sqrt{21}}{12}$
Thể tích của khối chóp $G.ABC$ là $V_{G.ABC} = \dfrac{1}{3}.{\sqrt{3}}^{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}.\dfrac{\sqrt{21}}{12} = \dfrac{\sqrt{7}}{16}$
3. Sai.
Kẻ $HN\bot BC\,\,\left( {N \in BC} \right)$
Ta có: $SH\bot BC$ nên $\left( {SHN} \right)\bot BC$
Khi đó $\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SN,HN} \right) = \angle SNH$
Ta có: $\tan\angle SNH = \dfrac{SH}{HN} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{21}}{4}}{\dfrac{3}{4}\sin 30{^\circ}} = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}$
4. Đúng.
Ta có: $SH\bot AB,\,\, HI\bot AB$
Do đó $\left( {SHI} \right)\bot AB$ nên $\left( {SHI} \right)\bot\left( {SAB} \right)$
Kẻ $HL\bot SI\,\,\left( {L \in SI} \right)$
Khi đó $HL\bot\left( {SAB} \right)$
Ta có: $\dfrac{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}{d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)} = \dfrac{CI}{HI} = 2$ nên $d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)$
Lại có: $HL = \dfrac{SH.HI}{\sqrt{SH^{2} + HI^{2}}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{21}}{4}.\dfrac{3}{4}}{\sqrt{\left( \dfrac{\sqrt{21}}{4} \right)^{2} + \left( \dfrac{3}{4} \right)^{2}}} = \dfrac{3\sqrt{70}}{40}$
5. Sai.
Gọi $CG \cap SB = Q$
Ta có: $\dfrac{SQ}{SB} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{AI}{AB}$ nên $QI \parallel SA$
Mà $SA \subset \left( {IQC} \right)$ nên $SA \parallel \left( {IQC} \right)$
Khi đó $d\left( {SA,CG} \right) = d\left( {A,\left( {IQC} \right)} \right)$
Gọi $N$ là trung điểm của $BH$ và $AN \cap IH = P$
Khi đó $\dfrac{d\left( {A,\left( {IQC} \right)} \right)}{d\left( {N,\left( {IQC} \right)} \right)} = \dfrac{AP}{NP} = 2$
Kẻ $NE\bot IH\,\,\left( {E \in IH} \right),\,\, NF\bot QE\,\,\left( {F \in QE} \right)$
Khi đó $NF\bot\left( {IQC} \right)$ hay $d\left( {N,\left( {IQC} \right)} \right) = NF$
Ta có: $NE \parallel IB\,$(cùng vuông góc với $IH$)
Do đó $NE = \dfrac{1}{2}IB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$
Tương tự $NQ = \dfrac{1}{2}SH = \dfrac{\sqrt{21}}{8}$
Ta có: $NF = \dfrac{NQ.NE}{\sqrt{NQ^{2} + NE^{2}}} = \dfrac{\sqrt{231}}{44}$
Vậy $d\left( {SA,CG} \right) = 2d\left( {N,\left( {IQC} \right)} \right) = 2.\dfrac{\sqrt{231}}{44} = \dfrac{\sqrt{231}}{22}$
Đáp án cần chọn là: A; B; D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
