Trong không gian $Oxyz$, cho các đường thẳng $d:\dfrac{x - 3}{- 2} = \dfrac{y - 3}{1} = \dfrac{z - 3}{1}$ và

Câu hỏi số 858909:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho các đường thẳng $d:\dfrac{x - 3}{- 2} = \dfrac{y - 3}{1} = \dfrac{z - 3}{1}$ và $\Delta:\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y}{- 2} = \dfrac{z - 1}{1}$. Gọi $d'$ là đường thẳng song song với $d$, cách $d$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$ và cách $\Delta$ một khoảng nhỏ nhất. Biết $d'$ qua $M\left( {2;a;b} \right)$. Tính $2a - 3b$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: -2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858909

Phương pháp giải

Gọi $HK$ là điểm vuông góc chung của $d$ và $\Delta$

Khoảng cách nhỏ nhất của $d'$ và $\Delta$ nhỏ nhất khi $d'$ đi qua trung điểm của $HK$

Gọi $E$ là trung điểm của $HK$

Tìm tọa độ điểm $E$, viết phương trình $d'$

Tìm được tọa độ điểm $M \in d'$

Giải chi tiết

Ta có: $d\left( {d,\Delta} \right) = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{AB}.\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}} \right\rbrack} \right|}{\left| \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}} \right\rbrack \right|} = 2\sqrt{3}$

Gọi $HK$ là điểm vuông góc chung của $d$ và $\Delta$

Khoảng cách nhỏ nhất của $d'$ và $\Delta$ nhỏ nhất khi $d'$ đi qua trung điểm của $HK$

Gọi $E$ là trung điểm của $HK$

Vì $H \in d$ nên $H\left( {3 - 2t;3 + t;3 + t} \right)$

Vì $K \in \Delta$ nên $K\left( {2 + m; - 2m;1 + m} \right)$

Ta có: $\overset{\rightarrow}{HK} = \left( {1 - 2t - m;3 + t + 2m;2 + t - m} \right)$

Vì $\overset{\rightarrow}{HK}\bot d$ nên $3 + 6t + 3m = 0$

Vì $\overset{\rightarrow}{HK}\bot\Delta$ nên $- 3 - 3t - 6m = 0$

Do đó $m = - \dfrac{1}{3},\,\, t = - \dfrac{1}{3}$

Khi đó $H\left( {\dfrac{11}{3};\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{3}} \right),\,\, K\left( {\dfrac{5}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right)$

Suy ra $E\left( {\dfrac{8}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{5}{3}} \right)$

Phương trình đường thẳng $d'$ là $\left\{ \begin{array}{l} {x = \dfrac{8}{3} - 2t} \\ {y = \dfrac{5}{3} + t} \\ {z = \dfrac{5}{3} + t} \end{array} \right.$

Vì $M \in d'$ nên $\left. \dfrac{8}{3} - 2t = 2\Rightarrow t = \dfrac{1}{3} \right.$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l} {b = \dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{3} = 2} \\ {c = \dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{3} = 2} \end{array} \right.$

Vậy $2a - 3b = 2.2 - 3.2 = - 2$

Đáp án cần điền là: -2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.