Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC cố định (BC < 2R). Điểm A di động trên đường tròn (O;R)
Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC cố định (BC < 2R). Điểm A di động trên đường tròn (O;R) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
1) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài tại đỉnh H của tam giác BHC cắt AB, AC lần lượt tại hai điểm M, N. Chứng minh tam giác AMN cân.
2) Kẻ các đường cao BE và CF của tam giác ABC. Gọi S là giao điểm thứ hai khác A của đường thẳng AH và đường tròn (O). Đường thẳng SE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai X (khác S). Chứng minh đường thẳng BX đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF.
3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt tia phân giác của góc BAC tại K. Chứng minh điểm K thuộc một đường tròn cố định.
Quảng cáo
1. Sử dụng tính chất góc tạo bởi tia phân giác và các góc của tam giác.
2. Sử dụng tính chất của điểm đối xứng của trực tâm qua cạnh và tứ giác nội tiếp.
3. Xác định vị trí điểm K thông qua các yếu tố cố định như tâm O và dây cung BC.
1) Ta có $\angle ACH = \angle ABH$ do cùng phụ với góc BAC. Và có $\angle CHN = \angle BHM$
Khi đó $\angle ANM = \angle ACH + \angle CHN = \angle ABH + \angle BHM = \angle AMN.$
Suy ra tam giác AMN cân tại $A$.
2) Gọi AD là đường cao của tam giác ABC.
Ta có $\angle HCB = \angle BAH = \angle SCB$ suy ra tam giác HCS cân tại $C$.
Hay $D$ là trung điểm của HS.
Ta có tứ giác AEDB nội tiếp suy ra $\angle FBE = \angle HDE$ (1)
Vì $\Delta AEH$ vuông tại E nên A,E,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Vì $\Delta AFH$ vuông tại F NÊN A,F,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Suy ra A,E,H,F cùng thuộc đường tròn đường kính AH hay AEHF nội tiếp
Tương tự tứ giác HECD nội tiếp.
Và các tứ giác AEHF, HECD nội tiếp thì $\angle FEB = \angle BAH = \angle BCH = \angle DEH.$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\left. \left. \Delta BFE \right.\sim\Delta DHE\Rightarrow\dfrac{BF}{DH} = \dfrac{EF}{HE}\Leftrightarrow\dfrac{BF}{2DH} = \dfrac{EF}{2HE}\Leftrightarrow\dfrac{BF}{SH} = \dfrac{FI}{HE}. \right.$
Suy ra $\left. \left. \Delta BFI \right.\sim\Delta SHE(c.g.c)\Rightarrow\angle FBI = \angle HSE = \angle ABX \right.$. Suy ra B,I,X thẳng hàng.
3) Gọi $J$ là giao của AK với $(O)$. Kẻ hai đường kính CG, BL của $(O)$.
Gọi T,R là giao của JG, JL với BC. Ta có:
$\left. \left. \Delta BGC \right.\sim\Delta EHC(g.g)\Rightarrow\dfrac{TB}{TC} = \dfrac{BG}{GC} = \dfrac{EH}{HC} = \dfrac{NE}{NC}\Rightarrow TN \parallel BE. \right.$
Do tam giác AMN cân và $K$ là điểm chính giữa cung nhỏ MN của đường tròn ngoại tiếp tam giác
AMN nên AK là đường kính, khi đó $\angle ANK = 90^{{^\circ}}$.
Hay $TN \parallel BE \parallel KN$. Nên T, K, N thẳng hàng.
Do G, J cố định suy ra $T$ cố định.
Tương tự $R$ cố định.
Ta có $\angle TJR + \angle TKR = \dfrac{\angle GOL}{2} + \angle MKN = \dfrac{\angle BOC}{2} + \angle MKN = 180^{{^\circ}}$.
Suy ra tứ giác KRJT nội tiếp.
Mặt khác do T, R, J cố định nên đường tròn ngoại tiếp tam giác TJR cố định.
Suy ra $K$ luôn thuộc một đường tròn cố định.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
