1) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn $2x^{3} + y^{3} + 2x^{2}y + y^{2}x = 2xy - 5$. 2) Tìm

Câu hỏi số 962710:

Vận dụng

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn $2x^{3} + y^{3} + 2x^{2}y + y^{2}x = 2xy - 5$.

2) Tìm tất cả các bộ số $(x,y,p)$ thỏa mãn $\dfrac{xy^{3}}{x + y} = p$, biết x, y, p là các số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:962710

Phương pháp giải

1. Phân tích đa thức thành nhân tử và đánh giá giá trị các biến dựa trên tính chất số nguyên.

2. Sử dụng tính chất của số nguyên tố và ước chung lớn nhất để giới hạn các trường hợp.

Giải chi tiết

1) Ta có: $2x^{3} + y^{3} + 2x^{2}y + xy^{2} = 2xy - 5$ hay $(2x^{2} + y^{2})(x + y) = 2xy - 5$.

Suy ra $\left. 2x^{2} + y^{2} \middle| 2xy - 5 \right.$. Ta thấy $2xy - 5 \neq 0$.

Nếu $2xy - 5 > 0$ thì $\left. 2x^{2} + y^{2} \leq 2xy - 5\Leftrightarrow x^{2} + {(x - y)}^{2} \leq - 5 \right.$.

Nếu $2xy - 5 < 0$, khi đó $\left. 2x^{2} + y^{2} \middle| 5 - 2xy \right.$ thì $\left. 2x^{2} + y^{2} \leq 5 - 2xy\Leftrightarrow{(x + y)}^{2} + x^{2} \leq 5 \right.$.

Suy ra $\left. x^{2} \leq 5\Rightarrow x \in \left\{ - 2, - 1,0,1,2 \right\} \right.$.

Mặt khác $2x^{3} + 2x^{2}y + xy^{2} - 2xy = - y^{3} - 5$.

Trường hợp 1: $\left. x = - 2\Rightarrow y^{3} - 2y^{2} + 12y - 11 = 0\Leftrightarrow(y - 1)(y^{2} - y + 11) = 0 \right.$.

Vì $y^{2} - y + 11 > 0$ nên $y = 1$.

Trường hợp 2: $\left. x = 2\Rightarrow y^{3} + 2y^{2} + 4y + 21 = 0\Leftrightarrow(y + 3)(y^{2} - y + 7) = 0 \right.$.

Vì $y^{2} - y + 7 > 0$ nên $y = - 3$.

Trường hợp 3: $\left. x = - 1\Rightarrow y^{3} - y^{2} + 4y + 3 = 0 \right.$.

Ta thấy $- 3 = y^{3} - y^{2} + 4y = y^{2}(y - 1) + 4y \vdots 2$ (vô lý)

Vậy phương trình này không có nghiệm nguyên.

Trường hợp 4: $\left. x = 1\Rightarrow y^{3} + y^{2} + 7 = 0 \right.$. Ta thấy $- 7 = y^{3} + y^{2} = y^{2}(y + 1) \vdots 2$. (vô lý)

Vậy phương trình này không có nghiệm nguyên.

Trường hợp 5: $\left. x = 0\Rightarrow y^{3} = - 5 \right.$. (vô lý do - 5 không là lập phương của số nguyên)

Vậy (-2,1) và (2,-3) là các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.

2) Đặt $d = (x,y)$ khi đó tồn tại a,b nguyên dương sao cho $x = da,y = db$ với $(a,b) = 1$.

Khi đó $p = \dfrac{d^{3}ab^{3}}{a + b}$. Giả sử $(ab^{3},a + b) > 1$ và gọi $q$ là ước nguyên tố của $(ab^{3},a + b)$.

Nếu $\left. q \middle| b^{3} \right.$ thì $\left. q \middle| a + b,q \middle| b\Rightarrow q \middle| a \right.$ ,suy ra $\left. p \middle| (a,b) \right.$, vô lý do $(a,b) = 1$.

Tương tự nếu thì suy ra q|a được điều vô lý. Như vậy $(ab^{3},a + b) = 1$.

Suy ra $\left. a + b \middle| d^{3} \right.$. Ta có: $p = \dfrac{d^{3}}{a + b}.ab^{3}$.

Ta thấy khi $b^{3} > 1$ thì $b^{3} = p$ vô lý. Như vậy $\left. b^{3} = 1\Leftrightarrow b = 1 \right.$. Khi đó $p = \dfrac{d^{3}}{a + 1}.a$.

- Nếu $a = 1$ thì $\left. p = \dfrac{d^{3}}{2}\Leftrightarrow d^{3} = 2p \right.$. Ta có $\left. 2 \middle| d^{3} \right.$ hay $\left. 8 \middle| d^{3}\Rightarrow 4 \middle| 2p\Rightarrow p = 2 \right.$.

Như vậy $d^{3} = 4$, vô lý.

- Nếu $d^{3} = a + 1$ và $p = a$ thì $\left. d^{3} = p + 1\Leftrightarrow p = (d - 1)(d^{2} + d + 1) \right.$.

Do đó $\left. \left\{ \begin{array}{l} {d - 1 = 1} \\ {d^{2} + d + 1 = p} \end{array} \right.\Leftrightarrow d = 2,p = 7 \right.$.

Suy ra $a = 7,b = 1,d = 2,p = 7$ .Hay $x = 14,y = 2,p = 7$.

Thử lại ta thấy thoả mãn. Như vậy bộ (14, 2, 7) thoả mãn yêu cầu bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link