Cho khai triển \({\left( {\sqrt {{x^3}} + {3 \over {\root 3 \of {{x^2}} }}} \right)^n}\) với \(x > 0.\) Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là 631. Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^5}.\)

Câu 219524: Cho khai triển \({\left( {\sqrt {{x^3}} + {3 \over {\root 3 \of {{x^2}} }}} \right)^n}\) với \(x > 0.\) Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là 631. Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^5}.\)

A. \(C_{12}^4{.3^8}.\)

B. \(27.C_{12}^3.\)

C. \(C_{12}^7{.3^7}.\)

D. \(C_{12}^6{.3^6}.\)

Câu hỏi : 219524

Phương pháp giải:

Tìm \(n\) bằng các công thức \({P_n} = n!;\,\,A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\) và \(C_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!.k!}}.\)
Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Tìm hệ số của số hạng cần tìm.

Đáp án : D
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

\({\left( {\sqrt {{x^3}} + {3 \over {\root 3 \of {{x^2}} }}} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{\left( {\sqrt {{x^3}} } \right)^{n\, - \,k}}.{\left( {{3 \over {\root 3 \of {{x^2}} }}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} {.3^k}.{x^{{{3\left( {n\, - \,k} \right)} \over 2}}}.{x^{ - \,{{2k} \over 3}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} {.3^k}.{x^{{{3n} \over 2} - {{13k} \over 6}}}.\)

Suy ra tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển là \({3^0}.C_n^0 + {3^1}.C_n^1 + {3^2}.C_n^2 = 631\).

\( \Leftrightarrow 1 + 3n + {{9n\left( {n - 1} \right)} \over 2} = 631 \Rightarrow n = 12.\) Khi đó \({\left( {\sqrt {{x^3}} + {3 \over {\root 3 \of {{x^2}} }}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} {.3^k}.{x^{18\, - \,{{13k} \over 6}}}.\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) ứng với \(18 - {{13k} \over 6} = 5 \Leftrightarrow k = 6\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Hệ số cần tìm là \(C_{12}^6{.3^6}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.