Với \(n \in N;{\rm{ }}n \ge 2\) và thỏa mãn \(\frac{1}{{C_2^2}} + \frac{1}{{C_3^2}} + \frac{1}{{C_4^2}} + ... +

Câu hỏi số 297333:

Vận dụng

Với \(n \in N;{\rm{ }}n \ge 2\) và thỏa mãn \(\frac{1}{{C_2^2}} + \frac{1}{{C_3^2}} + \frac{1}{{C_4^2}} + ... + \frac{1}{{C_n^2}} = \frac{9}{5}.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{C_n^5 + C_{n + 2}^3}}{{\left( {n - 4} \right)!}}.\)

A. \(\frac{{61}}{{90}}\)

B. \(\frac{{59}}{{90}}\)

C. \(\frac{{29}}{{45}}\)

D. \(\frac{{57}}{{90}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:297333

Phương pháp giải

Áp dụng công thức: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!.k!}}\)

Chú ý : \(\frac{k}{{n(n - k)}} = \frac{1}{{n - k}} - \frac{1}{n}\)

Với \(k = 1\) ta được \(\frac{1}{{n(n - 1)}} = \frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}\) áp dụng để rút gọn biểu thức.

Sau khi tìm được n thỏa mãn bài toán thì thay giá trị đó vào biểu thức P để tính giá trị biểu thức.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(n \in N,\;\;n \ge 2.\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{1}{{C_2^2}} + \frac{1}{{C_3^2}} + \frac{1}{{C_4^2}} + ... + \frac{1}{{C_n^2}} = \frac{9}{5}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{{2!}}{{\left( {2 - 2} \right)!.2!}}}} + \frac{1}{{\frac{{3!}}{{\left( {3 - 2} \right)!.2!}}}} + \frac{1}{{\frac{{4!}}{{\left( {4 - 2} \right)!.2!}}}} + ...... + \frac{1}{{\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!.2!}}}} = \frac{9}{5}\\ \Leftrightarrow \frac{{0!.2!}}{{2!}} + \frac{{1!.2!}}{{3!}} + .... + \frac{{2!.(n - 2)!}}{{n!}} = \frac{9}{5}\\ \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + ... + \frac{2}{{n(n - 1)}} = \frac{9}{5}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{2}{{n(n - 1)}} = \frac{4}{5}\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{2.3}} + \frac{2}{{3.4}} + ... + \frac{2}{{n(n - 1)}} = \frac{4}{5}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n} = \frac{2}{5}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{1}{n} = \frac{2}{5}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{n} = \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow n = 10\;\;\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow P = \frac{{C_n^5 + C_{n + 2}^3}}{{\left( {n - 4} \right)!}} = \frac{{C_{10}^5 + C_{12}^3}}{{6!}} = \frac{{59}}{{90}}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.