Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức \({\left( {\sqrt[3]{3} +

Câu hỏi số 307401:

Vận dụng

Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức \({\left( {\sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5}} \right)^{2019}}?\)

A. \(403\)

B. \(134\)

C. \(136\)

D. \(135\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:307401

Phương pháp giải

Sử dụng công thức khai triển của nhị thức: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.} \)

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {\sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5}} \right)^{2019}} = {\sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k{{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)}^{2019 - k}}\left( {\sqrt[5]{5}} \right)} ^k} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k{3^{\frac{{2019 - k}}{3}}}{5^{\frac{k}{5}}}.} \)

Số hạng là số nguyên trong khai triển \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{k}{5} \in Z\\\frac{{2019 - k}}{3} \in Z\\0 \le k \le 2019\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow k\,\, \vdots \,\,5,\,\,\left( {2019 - k} \right)\,\, \vdots \,\,3\). Mà \(2019\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow k\,\, \vdots \,\,3\).

Mà \(\left( {3;5} \right) = 1 \Rightarrow k\,\, \vdots \,\,15 \Rightarrow k = 15m\,\,\left( {m \in Z} \right)\)

Mà \(0 \le k \le 2019 \Leftrightarrow 0 \le 15m \le 2019 \Leftrightarrow 0 \le m \le 134,6 \Leftrightarrow \) Có 134 số nguyên k thỏa mãn.

Vậy khai triển trên có 134 số hạng là số nguyên.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.