Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Cho hàm số \(y = x + \sqrt {{x^2} + 1} \). Chứng minh \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)y'' + xy'\).

Câu hỏi số 335123:
Vận dụng

Cho hàm số \(y = x + \sqrt {{x^2} + 1} \). Chứng minh \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)y'' + xy'\).

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:335123
Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\) và quy tắc tính đạo hàm: \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = 1 + \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\y'' = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - x\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}\)

Từ đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} + 1} \right)y'' + xy'\\ = \left( {{x^2} + 1} \right)\dfrac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} + x\left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)\\ = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + x + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = x + \dfrac{{{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = x + \sqrt {{x^2} + 1}  = y\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn