Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Biết \(AD = 4a,\,\,AB =

Câu hỏi số 335125:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Biết \(AD = 4a,\,\,AB = BC = 2a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SC = a\sqrt {10} \). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\).

1) Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).

2) Xác định góc giữa \(SC\) và \(mp\left( {ABCD} \right)\).

3) Chứng minh \(\left( {SBE} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

4) Tính khoảng cách từ \(E\) đến \(mp\left( {SCD} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335125

Phương pháp giải

1) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\).

2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

3) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\d \subset \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

4) Sử dụng phương pháp đổi đỉnh, chứng minh \(d\left( {E;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Giải chi tiết

1) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

2) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA\).

Trong tam giác vuông \(ABC\) có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} = 2\sqrt 2 a\).

Trong tam giác vuông \(SAC\) có:

\(\cos \angle SCA = \dfrac{{AC}}{{SC}} = \dfrac{{2\sqrt 2 a}}{{a\sqrt {10} }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \angle SCA \approx {26^0}34'\).

3) Xét tứ giác \(ABCE\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AE//BC\\AE = BC = 2a\end{array} \right. \Rightarrow ABCE\) là hình bình hành.

Lại có \(\angle ABC = {90^0};\,\,\,AB = BC = 2a \Rightarrow ABCE\) là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot BE\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot AC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\BE \bot SA\,\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BE \bot \left( {SAC} \right)\). Mà \(BE \subset \left( {SBE} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBE} \right)\).

4) Ta có: \(AE \cap \left( {SCD} \right) = D \Rightarrow \dfrac{{d\left( {E;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{ED}}{{AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow d\left( {E;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)\).

Xét tam giác \(ACD\) có \(CE = \dfrac{1}{2}AD = 2a \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(C \Rightarrow CD \bot AC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot AH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot CD\,\,\left( {cmt} \right)\\AH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).

Trong tam giác vuông \(SAC:\,\,SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a\sqrt 2 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAC\) ta có:

\(AH = \dfrac{{SA.AC}}{{SC}} = \dfrac{{a\sqrt 2 .2\sqrt 2 a}}{{a\sqrt {10} }} = \dfrac{{2\sqrt {10} a}}{5}\).

Vậy \(d\left( {E;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.