Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam

Câu hỏi số 381663:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAD\). Lấy điểm \(M\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(AB = 3AM\).

1) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {GBC} \right)\). Tìm giao điểm \(H\) của đường thẳng \(BC\) với mặt phẳng \(\left( {SGM} \right)\).

2) Chứng minh rằng đường thẳng \(MG\) song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

3) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và song song với \(AD\) và \(SB\), \(\left( \alpha \right)\) cắt các cạnh \(CD,\,\,SD,\,\,SA\) lần lượt tại các điểm \(N,\,\,P,\,\,Q\).

Xác định thiết diện của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp \(S.ABCD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381663

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí ba giao tuyến song song: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = {d_1}\\\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_2}\\\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_3}\\{d_1}//{d_2}\end{array} \right. \Rightarrow {d_3}//{d_1}//{d_2}\).

b) Sử dụng định lí \(\left\{ \begin{array}{l}a \not\subset \left( P \right)\\a//b\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a//\left( P \right)\).

c) Sử dụng hệ quả \(\left\{ \begin{array}{l}a//\left( P \right)\\a \subset \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\end{array} \right. \Rightarrow a//d\).

Giải chi tiết

1) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {GBC} \right)\). Tìm giao điểm \(H\) của đường thẳng \(BC\) với mặt phẳng \(\left( {SGM} \right)\).

Dễ thấy \(G \in \left( {GBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\).

Xét các mặt phẳng: \(\left( {GBC} \right),\left( {SAD} \right),\left( {ABCD} \right)\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {GBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = Gx\\\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\\\left( {ABCD} \right) \cap \left( {GBC} \right) = BC\\BC//AD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow Gx//AB//CD\)

Vậy \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {GBC} \right) = Gx\) là đường thẳng đi qua \(G\) và song song \(AD\).

Gọi \(I\) là trung điểm \(AD\), khi đó \(\left( {SGM} \right) \equiv \left( {SIM} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(H = IM \cap BC\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}H \in IM \subset \left( {SIM} \right)\\H \in BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H = BC \cap \left( {SMG} \right)\).

2) Chứng minh rằng đường thẳng \(MG\) song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)

Vì \(AD//BC\) nên \(\dfrac{{MI}}{{MH}} = \dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{1}{2}\)

Xét tam giác \(SIH\) có \(\dfrac{{MI}}{{MH}} = \dfrac{{GI}}{{GS}} = \dfrac{1}{2}\) nên theo định lí Talet ta có \(MG//SH\).

Mà \(SH \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(MG//\left( {SBC} \right)\).

3) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và song song với \(AD\) và \(SB\), \(\left( \alpha \right)\) cắt các cạnh \(CD,\,\,SD,\,\,SA\) lần lượt tại các điểm \(N,\,\,P,\,\,Q\). Xác định thiết diện của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp \(S.ABCD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SB//\left( \alpha \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = MQ\end{array} \right.\) \( \Rightarrow MQ//SB\)

\( \Rightarrow \) Trong \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(Mx//SB\) cắt \(SA\) tại \(Q\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AD//\left( \alpha \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = QP\end{array} \right.\) \( \Rightarrow QP//AD\)

\( \Rightarrow \) Trong \(\left( {SAD} \right)\), kẻ \(Qy//AD\) cắt \(SD\) tại \(P\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AD//\left( \alpha \right)\\AD \subset \left( {ABCD} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\end{array} \right.\) \( \Rightarrow MN//AD\)

\( \Rightarrow \) Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(Mt//AD\) cắt \(CD\) tại \(N\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = MQ\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = QP\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = PN\\\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = NM\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Thiết diện là tứ giác \(MNPQ\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.