Cho hình chóp \(O.ABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi mặt vuông góc, \(OB = OC = a\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {OBC} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính độ dài cạnh \(OA\).

Câu 403421: Cho hình chóp \(O.ABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi mặt vuông góc, \(OB = OC = a\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {OBC} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính độ dài cạnh \(OA\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\dfrac{a}{2}\)

C. \(a\)

D. \(a\sqrt 2 \)

Câu hỏi : 403421

Phương pháp giải:

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Đáp án : A
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Vì \(OB = OC\) nên \(\Delta OBC\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow OM \bot BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot OA\,\,\left( {OA \bot \left( {OBC} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {OAM} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot AM\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {OBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {OBC} \right) \supset OM \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {OBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {OM;AM} \right) = \angle OMA = {45^0}\).

\( \Rightarrow \Delta OAM\) vuông cân tại \(O\) \( \Rightarrow OA = OM\).

Mà \(\Delta OBC\) vuông cân tại \(O\) nên \(OM = \dfrac{{OB\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(OA = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.