Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\), \(SA\) vuông góc với
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\). Biết \(AB = 2AD = 2DC = 2a\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\). Tính \(\tan \alpha \).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB,\,\,SC\).
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), ta có: \(ADCE\) là hình vuông nên \(CE = AD = a = \dfrac{1}{2}AB\), suy ra tam giác \(ACB\) vuông tại \(C\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SC\\AK \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAC} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot SB\).
Mà \(SB \bot AH \Rightarrow SB \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SB \bot HK\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \supset AH \bot SB\\\left( {SAB} \right) \supset HK \bot SB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {SH;HK} \right) = \angle SHK\).
Vì \(AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot HK\), suy ra tam giác \(AHK\) vuông tại \(H\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAB\) ta có: \(AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2a.2a}}{{\sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} }} = a\sqrt 2 \).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ACD\) có: \(AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAC\) ta có: \(AK = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{2a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Xét tam giác vuông \(AHK\) có: \(\sin \angle AHK = \dfrac{{AK}}{{AH}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)
\( \Rightarrow \cos \angle AHK = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\angle AHK} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(\tan \angle AHK = \dfrac{{\sin \angle AHK}}{{\cos \angle AHK}} = \sqrt 2 \) hay \(\tan \alpha = \sqrt 2 \).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
