Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\), \(SA\) vuông góc với
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\). Biết \(AB = 2AD = 2DC = 2a\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\). Tính \(\tan \alpha \).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB,\,\,SC\).
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), ta có: \(ADCE\) là hình vuông nên \(CE = AD = a = \dfrac{1}{2}AB\), suy ra tam giác \(ACB\) vuông tại \(C\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SC\\AK \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAC} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot SB\).
Mà \(SB \bot AH \Rightarrow SB \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SB \bot HK\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \supset AH \bot SB\\\left( {SAB} \right) \supset HK \bot SB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {SH;HK} \right) = \angle SHK\).
Vì \(AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot HK\), suy ra tam giác \(AHK\) vuông tại \(H\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAB\) ta có: \(AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2a.2a}}{{\sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} }} = a\sqrt 2 \).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ACD\) có: \(AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAC\) ta có: \(AK = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{2a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Xét tam giác vuông \(AHK\) có: \(\sin \angle AHK = \dfrac{{AK}}{{AH}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)
\( \Rightarrow \cos \angle AHK = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\angle AHK} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(\tan \angle AHK = \dfrac{{\sin \angle AHK}}{{\cos \angle AHK}} = \sqrt 2 \) hay \(\tan \alpha = \sqrt 2 \).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
