Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt

Câu hỏi số 403458:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên các cạnh \(SB,\,\,SD\). Góc giữa mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và đường thẳng \(SB\) bằng:

A. \({45^0}\)

B. \({120^0}\)

C. \({90^0}\)

D. \({60^0}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403458

Phương pháp giải

- Tìm giao điểm \(P\) của \(SC\) và \(\left( {AMN} \right)\), chứng minh \(SP \bot \left( {AMN} \right)\).

- Góc giữa đường và mặt là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng đó.

- Sử dụng hệ thức lượng và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\), trong \(\left( {SBD} \right)\) gọi \(E = MN \cap SO\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kéo dài \(AE\) cắt \(SC\) tại \(P\), khi đó ta có \(\left( {AMN} \right) \cap SC = P\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot SB\,\,\left( {gt} \right)\\AN \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow AM \bot SC\).

Chứng minh tương tự ta có \(AN \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AN \bot SC\).

\( \Rightarrow AC \bot \left( {SMN} \right)\) tại \(P\).

Do đó \(PM\) là hình chiếu của \(SM\) lên \(\left( {AMN} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {AMN} \right)} \right) = \angle \left( {SM;\left( {AMN} \right)} \right) = \angle \left( {SM;PM} \right) = \angle SMP\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAB\) ta có: \(SM = \dfrac{{S{A^2}}}{{SB}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2{a^2}}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAC\) ta có: \(SP = \dfrac{{S{A^2}}}{{SC}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{2{a^2}}}{{\sqrt {2{a^2} + 2{a^2}} }} = a\).

Xét tam giác \(SMP\) vuông tại \(P\) có \(\sin \angle SMP = \dfrac{{SP}}{{SM}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \angle SMP = {60^0}\).

Vậy góc giữa mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và đường thẳng \(SB\) bằng \({60^0}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.