Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{2x - 1}}\), có đồ thị \(\left( H \right)\). Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}}

Câu hỏi số 403461:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{2x - 1}}\), có đồ thị \(\left( H \right)\). Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai điểm phân biệt thuộc \(\left( H \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( H \right)\) tại \(A,\,\,B\) song song với nhau. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng \(AB\).

A. \(3\)

B. \(3\sqrt 2 \)

C. \(\sqrt 6 \)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403461

Phương pháp giải

- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\).

- Hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng hệ số góc.

- Tính độ dài đoạn thẳng AB: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \).

- Áp dụng BĐT Cô-si: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \,\,\left( {a,\,\,b \ge 0} \right)\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(A,\,\,B\) của đồ thị hàm số lần lượt là \({k_1} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2{x_1} - 1} \right)}^2}}}\), \({k_2} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2{x_2} - 1} \right)}^2}}}\).

Vì tiếp tuyến tại \(A,\,\,B\) song song với nhau nên \({k_1} = {k_2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2{x_1} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2{x_2} - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {2{x_1} - 1} \right)^2} = {\left( {2{x_2} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x_1} - 1 = 2{x_2} - 1\\2{x_1} - 1 = - 2{x_2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\{x_1} + {x_2} = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vì \(A,\,\,B \in \left( H \right)\) nên \({y_1} = \dfrac{{{x_1} + 1}}{{2{x_1} - 1}},\,\,\,{y_2} = \dfrac{{{x_2} + 1}}{{2{x_2} - 1}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2}\\A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2} + 1}}{{2{x_2} - 1}} - \dfrac{{{x_1} + 1}}{{2{x_1} - 1}}} \right)^2}\\A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{2{x_1}{x_2} - {x_2} + 2{x_1} - 1 - 2{x_1}{x_2} - 2{x_2} + {x_1} + 1}}{{\left( {2{x_1} - 1} \right)\left( {2{x_2} - 1} \right)}}} \right)^2}\\A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{3{x_1} - 3{x_2}}}{{4{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}} \right)^2}\\A{B^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} + \dfrac{{9\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]}}{{{{\left( {4{x_1}{x_2} - 2.1 + 1} \right)}^2}}}\\A{B^2} = 1 - 4{x_1}{x_2} + \dfrac{{9\left( {1 - 4{x_1}{x_2}} \right)}}{{{{\left( {4{x_1}{x_2} - 1} \right)}^2}}}\\A{B^2} = 1 - 4{x_1}{x_2} + \dfrac{9}{{1 - 4{x_1}{x_2}}}\end{array}\)

Dễ thấy \(1 - 4{x_1}{x_2} > 0\) vì nếu \(1 - 4{x_1}{x_2} < 0\) thì \(\dfrac{9}{{1 - 4{x_1}{x_2}}} < 0\), khi đó \(A{B^2} < 0\) (Vô lí).

Khi đó áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(A{B^2} \ge 2\sqrt {\left( {1 - 4{x_1}{x_2}} \right).\dfrac{9}{{1 - 4{x_1}{x_2}}}} = 6\) \( \Rightarrow \) \(AB \ge \sqrt 6 \).

Vậy \(A{B_{\min }} = \sqrt 6 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.