Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2x} $ . Bất phương trình \(f'\left( x \right) \ge

Câu hỏi số 403464:

Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2x} $ . Bất phương trình $f'\left( x \right) \ge f\left( x \right)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. $0$

B. $1$

C. $3$

D. $2$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403464

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Sử dụng công thức $\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}$ để tính đạo hàm của hàm số.

- Giải bất phương trình, tìm nghiệm nguyên.

Giải chi tiết

Điều kiện để hàm số có đạo hàm là biểu thức trong căn ở mẫu số phải dương: $x^2 + 2x > 0 \Leftrightarrow x < -2$ hoặc $x > 0$.
Ta có: $f'(x) = \dfrac{(x^2 + 2x)'}{2\sqrt{x^2 + 2x}} = \dfrac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x}} = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x}}$.
Bất phương trình $f'(x) \ge f(x)$ trở thành: $\dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x}} \ge \sqrt{x^2 + 2x}$
Vì $\sqrt{x^2 + 2x} > 0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định của đạo hàm, ta nhân cả hai vế với $\sqrt{x^2 + 2x}$: $x + 1 \ge x^2 + 2x \Leftrightarrow x^2 + x - 1 \le 0$
Xét tam thức bậc hai $x^2 + x - 1 = 0$ có hai nghiệm: $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Do đó, nghiệm của bất phương trình là: $\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} \le x \le \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}$
Ta có: $\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1,62$ và $\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0,62$.
Kết hợp với điều kiện xác định của đạo hàm ($x < -2$ hoặc $x > 0$):
Với $x < -2$: Giao của $[-1,62; 0,62]$ và $(-\infty; -2)$ là tập rỗng $\emptyset$.
Với $x > 0$: Giao của $[-1,62; 0,62]$ và $(0; +\infty)$ là $(0; \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}] \approx (0; 0,62]$.
Trong khoảng $(0; 0,62]$ không có số nguyên nào.
Vậy bất phương trình đã cho không có nghiệm nguyên nào.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.