Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 7\,\,\,\left( C \right)\). Có bao nhiêu tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)

Câu hỏi số 403936:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 7\,\,\,\left( C \right)\). Có bao nhiêu tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tạo với đường thẳng \(d:\,\,y = 2x + 3\) một góc \({45^0}\).

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403936

Phương pháp giải

+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\).

+ Giải hệ phương trình \(\left| {\dfrac{{k - k'}}{{1 + kk'}}} \right| = \tan \alpha \) tìm \(k\) với k là hệ số góc của tiếp tuyến, \(k'\) là hệ số góc của đường thẳng \(d:\,\,y = 2x + 3\), \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng.

+ Tìm \({x_0}\), từ đó viết phương trình tiếp tuyến.

Giải chi tiết

+ Gọi\(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \) là tiếp tuyến cần tìm.

+ Hệ số góc của \(\Delta \) là: \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 3\)

+ Ta có: PTTT của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và tạo với đường thẳng \(d:\,\,y = 2x + 3\) một góc \({45^0}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {\dfrac{{3x_0^2 - 3 - 2}}{{1 + 2\left( {3x_0^2 - 3} \right)}}} \right| = \tan {45^0} = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{3x_0^2 - 5}}{{6x_0^2 - 5}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x_0^2 - 5 = 6x_0^2 - 5\\3x_0^2 - 5 = - 6x_0^2 + 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x_0^2 = 0\\9x_0^2 = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \pm \dfrac{{\sqrt {10} }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

+ \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 7\) và \(k = - 3\). \( \Rightarrow PTTT:y = - 3x + 7.\)

+ \({x_0} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{3} \Rightarrow {y_0} = - \dfrac{{17\sqrt {10} }}{{27}} + 7\) và \(k = 7\) \( \Rightarrow PTTT:y = 7\left( {x - \dfrac{{\sqrt {10} }}{3}} \right) - \dfrac{{17\sqrt {10} }}{{27}} + 7\)\( \Leftrightarrow y = 7x - \dfrac{{80\sqrt {10} }}{{27}} + 7\)

+ \({x_0} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{3} \Rightarrow {y_0} = \dfrac{{17\sqrt {10} }}{{27}} + 7\) và \(k = 7\) \( \Rightarrow PTTT:y = 7\left( {x - \dfrac{{\sqrt {10} }}{3}} \right) + \dfrac{{17\sqrt {10} }}{{27}} + 7\)\( \Leftrightarrow y = 7x - \dfrac{{46\sqrt {10} }}{{27}} + 7\)

Kết luận: \(\left( \Delta \right):y = - 3x + 7\) hoặc \(y = 7x - \dfrac{{80\sqrt {10} }}{{27}} + 7\) hoặc \(y = 7x - \dfrac{{46\sqrt {10} }}{{27}} + 7\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.