Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của

Câu hỏi số 403971:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\), biết tiếp tuyến cắt hai trục \(Ox\) và \(Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A,\,\,B\) phân biệt thỏa mãn \(OA = 4OB\).

A. \(y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{{13}}{4}\) hoặc \(y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4}\).

B. \(y = - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{{13}}{4}\) hoặc \(y = - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4}\).

C. \(y = - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{{13}}{4}\) hoặc \(y = - \dfrac{1}{4}x - \dfrac{5}{4}\).

D. \(y = - \dfrac{1}{4}x - \dfrac{{13}}{4}\) hoặc \(y = - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403971

Phương pháp giải

+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a - 1}}{{a - 1}}} \right)\) với \(a \ne 1\) là điểm thuộc đồ thị.

+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M.

+ Tìm giao điểm của đường thẳng tiếp tuyến với các trục tọa độ.

+ Tính độ dài OA, OB và giải phương trình OA = 4OB.

Giải chi tiết

+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a - 1}}{{a - 1}}} \right)\) với \(a \ne 1\) là điểm thuộc đồ thị.

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\)có dạng:

\(\left( d \right):y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a - 1}}{{a - 1}}\) \( \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a - 1}}{{a - 1}}\)

+ Cho \(y = 0 \Leftrightarrow 0 = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a - 1}}{{a - 1}}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - x + a + \left( {2a - 1} \right)\left( {a - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - x + a + 2{a^2} - 2a - a + 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = 2{a^2} - 2a + 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Ox = A\left( {2{a^2} - 2a + 1;0} \right)\)

+ Cho \(x = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{a}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{2a - 1}}{{a - 1}}\).

\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{a + \left( {2a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{a^2} - 2a + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Oy = B\left( {0;\dfrac{{2{a^2} - 2a + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right)\)

Do \(A \ne B\) nên \(2{a^2} - 2a + 1 \ne 0\) (luôn đúng).

Theo giả thiết \( \Rightarrow OA = 4OB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {2{a^2} - 2a + 1} \right| = 4\left| {\dfrac{{2{a^2} - 2a + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right|\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a + 1 = 4\dfrac{{2{a^2} - 2a + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \left( {2{a^2} - 2a + 1} \right).\left( {1 - \dfrac{4}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{a^2} - 2a + 1 = 0\,\,\,\left( {Loai} \right)\\{\left( {a - 1} \right)^2} = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 1 = 2\\a - 1 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\\a = - 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

+ Với \(a = 3\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(y = - \dfrac{1}{4}\left( {x - 3} \right) + \dfrac{5}{2}\)\( \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{{13}}{4}.\)

+ Với \(a = - 1\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(y = - \dfrac{1}{4}\left( {x + 1} \right) + \dfrac{3}{2}\) \( \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4}.\)

Kết luận: Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(y = - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{{13}}{4}\) hoặc \(y = - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.