Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình bình hành, gọi \(M\) và \(N\) là các điểm thỏa mãn

Câu hỏi số 708053:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình bình hành, gọi \(M\) và \(N\) là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MS} = \vec 0,\overrightarrow {NB} + 2\overrightarrow {NC} = \vec 0\). Mặt phẳng \((AMN)\) cắt SC tại \(P\). Tỉ số \(\dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{a}{b}\)(\(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản). Giá trị \(b - a\) bằng.

Xem lời giải

Câu hỏi:708053

Phương pháp giải

Cho ba véctơ \(\vec a,\vec b,\vec c\), trong đó véctơ \(\vec a,\vec b\) không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba véctơ \(\vec a\), \(\vec b,\vec c\) đồng phẳng là có các số m, n sao cho \(\vec c = m\vec a + \) \(n\vec b\). Hơn nữa các số m, n là duy nhất.

Giải chi tiết

Đặt \(\overrightarrow {AB} = \vec x,\overrightarrow {AD} = \vec y,\overrightarrow {AS} = \vec z\) và \(\overrightarrow {SP} = k\overrightarrow {SC} \).

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AS} ) = \dfrac{1}{2}\vec y + \dfrac{1}{2}\vec z\).

\(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \vec x + \dfrac{2}{3}\vec y.\overrightarrow {AP} {\rm{ }} = \overrightarrow {AS} + \overrightarrow {SP} = \overrightarrow {AS} + k\overrightarrow {SC} = \overrightarrow {AS} + k(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AS} )\)

\( = \overrightarrow {AS} + k(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AS} ) = k\vec x + k\vec y + (1 - k)\vec z\)

Vì 3 véc tơ \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {AP} \) đồng phẳng nên \(\overrightarrow {AP} = m\overrightarrow {AM} + n\overrightarrow {AP} \).

Khi đó \(k\vec x + k\vec y + (1 - k)\vec z{\rm{ }} = m\left( {\dfrac{1}{2}\vec y + \dfrac{1}{2}\vec z} \right) + n\left( {\vec x + \dfrac{2}{3}\vec y} \right) = n\vec x + \left( {\dfrac{m}{2} + \dfrac{{2n}}{3}} \right)\vec y + \dfrac{m}{2}\vec z\)

Vậy \(\dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow b - a = - 1\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.