Điền một số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống. Cho các số thực \(a,b

Câu hỏi số 743228:

Thông hiểu

Điền một số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.

Cho các số thực \(a,b > 1\). Biết phương trình \({\log _a}(ax){\log _b}(bx) = 2025\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x_1}{x_2}\left( {4{a^2} + 9{b^2}} \right)\) là __________ .

Đáp án:

Đáp án đúng là: 12

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:743228

Phương pháp giải

Tính chất của logarit biến đổi tính \({x_1}{x_2} = \dfrac{1}{{ab}}\) từ đó tính P.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left( {{{\log }_a}x + 1} \right) \cdot \left( {{{\log }_b}x + 1} \right) = 2025 \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{\ln x}}{{\ln a}} + 1} \right) \cdot \left( {\dfrac{{\ln x}}{{\ln b}} + 1} \right) = 2025\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\ln a \cdot \ln b}} \cdot {\ln ^2}x + \ln x \cdot \left( {\dfrac{1}{{\ln a}} + \dfrac{1}{{\ln b}}} \right) + 1 - 2025 = 0\end{array}\)

\(\ln \left( {{x_1}} \right) + \ln \left( {{x_2}} \right) = \dfrac{{ - \dfrac{1}{{\ln a}} - \dfrac{1}{{\ln b}}}}{{\dfrac{1}{{\ln a.\ln b}}}} = - \ln b - \ln \alpha = - \ln ab \Rightarrow {x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{{ab}}\)

\( \Rightarrow P = \dfrac{1}{{ab}} \cdot \left( {4{a^2} + 9{b^2}} \right) \ge 2\sqrt {4{a^2} + 9{b^2}} \cdot \dfrac{1}{{ab}} = 12\)

Đáp án cần điền là: 12

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.