Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của SD
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của SD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD). Tính $\tan\alpha$.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng BM lên mặt phẳng (ABCD) để tìm góc $\alpha$.
Sử dụng định lý Pytago và các tính chất hình học phẳng để tính các độ dài cần thiết.
Tính $\tan\alpha$ trong tam giác vuông chứa góc $\alpha$.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên $SO\bot(ABCD)$.
Hình vuông ABCD cạnh a có đường chéo $BD = a\sqrt{2}$, suy ra $OD = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trong tam giác vuông SOD, ta có $SO = \sqrt{SD^{2} - OD^{2}} = \sqrt{a^{2} - \left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (ABCD).
Suy ra $MH \parallel SO$.
Vì M là trung điểm của SD nên H là trung điểm của OD.
Ta có MH là đường trung bình của tam giác SOD nên $MH = \dfrac{1}{2}SO = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
Hình chiếu của đường thẳng BM lên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng BH.
Suy ra góc giữa BM và mặt phẳng (ABCD) là góc $\angle MBH = \alpha$.
Ta có H là trung điểm của OD nên $HD = \dfrac{1}{4}BD$.
Do đó $BH = BD - HD = a\sqrt{2} - \dfrac{a\sqrt{2}}{4} = \dfrac{3a\sqrt{2}}{4}$.
Xét tam giác MHB vuông tại H, ta có:
$\tan\alpha = \tan\angle MBH = \dfrac{MH}{BH} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{4}}{\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}} = \dfrac{1}{3}$.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
