Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, $AB = AD = 2CD = 2a$. Góc giữa hai mặt
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, $AB = AD = 2CD = 2a$. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng $60^{0}$. Gọi I là trung điểm AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Thể tích khối chóp S.ABCD là
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Xác định đường cao của hình chóp dựa vào định lí: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm.
Thể tích khối chóp $V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h$.
Ta có $(SBI)\bot(ABCD)$, $(SCI)\bot(ABCD)$ và $(SBI) \cap (SCI) = SI$.
Suy ra $SI\bot(ABCD)$.
Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có $AB = 2a,AD = 2a,CD = a$ nên diện tích đáy là:
$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3a^{2}$.
Kẻ $IH\bot BC$ tại $H$. Do $SI\bot(ABCD)$ nên $SI\bot BC$.
Ta có $BC\bot IH$ và $BC\bot SI$ nên $\left. BC\bot(SIH)\Rightarrow BC\bot SH \right.$.
Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$ chính là góc $\widehat{SHI} = 60^{{^\circ}}$.
Do I là trung điểm AD nên $IA = ID = a$.
Diện tích các tam giác vuông IAB và IDC lần lượt là:
$S_{IAB} = \dfrac{1}{2} \cdot IA \cdot AB = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot 2a = a^{2}$.
$S_{IDC} = \dfrac{1}{2} \cdot ID \cdot CD = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a = \dfrac{1}{2}a^{2}$.
Diện tích tam giác IBC là:
$S_{IBC} = S_{ABCD} - S_{IAB} - S_{IDC} = 3a^{2} - a^{2} - \dfrac{1}{2}a^{2} = \dfrac{3}{2}a^{2}$.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của C lên AB.
Tứ giác AKCD là hình chữ nhật nên CK = AD = 2a và AK = CD = a.
Đoạn $KB = AB - AK = 2a - a = a$.
Độ dài cạnh $BC = \sqrt{CK^{2} + KB^{2}} = \sqrt{{(2a)}^{2} + a^{2}} = a\sqrt{5}$.
Lại có $\left. S_{IBC} = \dfrac{1}{2} \cdot IH \cdot BC\Rightarrow\dfrac{3}{2}a^{2} = \dfrac{1}{2} \cdot IH \cdot a\sqrt{5}\Rightarrow IH = \dfrac{3a}{\sqrt{5}} = \dfrac{3a\sqrt{5}}{5} \right.$.
Xét tam giác vuông SIH, ta có:
$SI = IH \cdot \tan\widehat{SHI} = \dfrac{3a\sqrt{5}}{5} \cdot \tan 60^{{^\circ}} = \dfrac{3a\sqrt{15}}{5}$.
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SI = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^{2} \cdot \dfrac{3a\sqrt{15}}{5} = \dfrac{3a^{3}\sqrt{15}}{5}$.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
