Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 2 = 0$ và điểm $A(3; - 3;1)$. Mặt cầu

Câu hỏi số 957366:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 2 = 0$ và điểm $A(3; - 3;1)$. Mặt cầu (S) tâm A , cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là là một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$. Những phương án nào dưới đây đúng?

Khoảng cách từ A đến (P) là 2.

B. Đường thẳng d đi qua A , vuông góc với (P) có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l} {x = 3 + 2t} \\ {y = - 3 - t} \\ {z = 1 + 2t} \end{array} \right.$.

C. Phương trình mặt cầu (S) là ${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25$.

D. Đường tròn giao tuyến của $(S)$ và $(P)$ có tâm là $H(1; - 2;1)$.

Đáp án đúng là: B; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:957366

Phương pháp giải

Tính khoảng cách từ điểm $M(x_{0};y_{0};z_{0})$ đến mặt phẳng $(P):Ax + By + Cz + D = 0$ theo công thức $d(M,(P)) = \dfrac{\left| Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng làm vectơ chỉ phương.

Chu vi đường tròn $C = 2\pi r$, từ đó tính bán kính đường tròn giao tuyến $r$.

Bán kính mặt cầu $R = \sqrt{d^{2} + r^{2}}$ với d là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng cắt.

Phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$ là ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$.

Giải chi tiết

1 Sai. Khoảng cách từ điểm $A(3; - 3;1)$ đến mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 2 = 0$ là:

$d(A,(P)) = \dfrac{\left| 2(3) - ( - 3) + 2(1) - 2 \right|}{\sqrt{2^{2} + {( - 1)}^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{|6 + 3 + 2 - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{9}{3} = 3$.

2 Đúng. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến ${\overset{\rightarrow}{n}}_{(P)} = (2; - 1;2)$.

Đường thẳng $d$ đi qua $A(3; - 3;1)$ và vuông góc với $(P)$ nên nhận ${\overset{\rightarrow}{n}}_{(P)}$ làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 3 + 2t} \\ {y = - 3 - t} \\ {z = 1 + 2t} \end{array} \right.$

3 Đúng. Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng $8\pi$, suy ra bán kính đường tròn là $r = \dfrac{8\pi}{2\pi} = 4$.

Bán kính mặt cầu $(S)$ là $R = \sqrt{d^{2}(A,(P)) + r^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $A(3; - 3;1)$, bán kính $R = 5$ nên có phương trình:

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25$.

4 Sai. Tâm H của đường tròn giao tuyến là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Tọa độ của H là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 3 + 2t} \\ {y = - 3 - t} \\ {z = 1 + 2t} \\ {2x - y + 2z - 2 = 0} \end{array} \right.$

Thay x, y, z từ 3 phương trình đầu vào phương trình $(P)$, ta được:

$2(3 + 2t) - ( - 3 - t) + 2(1 + 2t) - 2 = 0$

$6 + 4t + 3 + t + 2 + 4t - 2 = 0$

$\left. 9t + 9 = 0\Rightarrow t = - 1 \right.$.

Suy ra $x = 3 + 2( - 1) = 1$; $y = - 3 - ( - 1) = - 2$; $z = 1 + 2( - 1) = - 1$.

Vậy $H(1; - 2; - 1)$. Điểm này khác với $H(1; - 2;1)$.

Đáp án cần chọn là: B; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.