Một tòa án có các số liệu thống kê như sau: Cứ 100 bị cáo

Câu hỏi số 957367:

Vận dụng

Một tòa án có các số liệu thống kê như sau: Cứ 100 bị cáo thì có 65 người thực sự có tội và 35 người vô tội. Ở lần xét xử đầu tiên, với người thực sự phạm tội thì họ có 88% khả năng bị kết án, còn với người vô tội thì họ có 5% khả năng bị kết án oan. Ở lần xét xử thứ hai (kháng cáo), với người phạm tội đã bị kết án lần 1 thì họ có 93% khả năng tiếp tục bị kết án. với người vô tội đã bị kết án lần 1 thì họ có 98% khả năng được trắng án. Những phương án nào dưới đây đúng?

Xác suất để người không thực sự phạm tội được trắng án ở lần xét xử đầu tiên bằng 0,95.

B. Xác suất một bị cáo ngẫu nhiên bị kết án ở lần xử đầu tiên bằng 0,57 (làm tròn đến hàng phần trăm).

C. Nếu một bị cáo bị kết án ở lần đầu, xác suất họ thực sự có tội bằng 0,97 (làm tròn đến hàng phần trăm).

D. Nếu bị cáo bị kết án lần 1 nhưng trắng án lần 2, xác suất họ vô tội bằng 0,4 (làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án đúng là: A; C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:957367

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức xác suất cơ bản, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Gọi các biến cố:

T: Bị cáo thực sự có tội.

V: Bị cáo thực sự vô tội.

$K_{1}$: Bị cáo bị kết án ở lần xét xử đầu tiên.

$K_{2}$: Bị cáo bị kết án ở lần xét xử thứ hai.

Giải chi tiết

Theo giả thiết bài toán, ta có các xác suất sau:

$P(T) = \dfrac{65}{100} = 0,65$, suy ra $P(V) = 0,35$.

$\left. P(K_{1} \middle| T) = 0,88 \right.$, suy ra xác suất trắng án lần 1 của người có tội là $\left. P(\overline{K_{1}} \middle| T) = 1 - 0,88 = 0,12 \right.$.

$\left. P(K_{1} \middle| V) = 0,05 \right.$, suy ra xác suất trắng án lần 1 của người vô tội là $\left. P(\overline{K_{1}} \middle| V) = 1 - 0,05 = 0,95 \right.$.

$\left. P(K_{2} \middle| T \cap K_{1}) = 0,93 \right.$, suy ra xác suất trắng án lần 2 của người có tội đã bị kết án lần 1 là $\left. P(\overline{K_{2}} \middle| T \cap K_{1}) = 1 - 0,93 = 0,07 \right.$.

$\left. P(\overline{K_{2}} \middle| V \cap K_{1}) = 0,98 \right.$.

Xét ý a: Xác suất để người không thực sự phạm tội (vô tội) được trắng án ở lần xét xử đầu tiên chính là $\left. P(\overline{K_{1}} \middle| V) \right.$. Theo phân tích trên, $\left. P(\overline{K_{1}} \middle| V) = 0,95 \right.$. Do đó mệnh đề a đúng.

Xét ý b: Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất một bị cáo ngẫu nhiên bị kết án ở lần xử đầu tiên là:

$\left. P(K_{1}) = P(T) \cdot P(K_{1} \middle| T) + P(V) \cdot P(K_{1} \middle| V) = 0,65 \cdot 0,88 + 0,35 \cdot 0,05 = 0,572 + 0,0175 = 0,5895 \right.$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm ta được 0,59. Giá trị này khác với 0,57. Do đó mệnh đề b sai.

Xét ý c: Nếu một bị cáo bị kết án ở lần đầu, xác suất họ thực sự có tội là xác suất có điều kiện $\left. P(T \middle| K_{1}) \right.$. Áp dụng công thức Bayes:

$\left. P(T \middle| K_{1}) = \dfrac{\left. P(T) \cdot P(K_{1} \middle| T) \right.}{P(K_{1})} = \dfrac{0,65 \cdot 0,88}{0,5895} = \dfrac{0,572}{0,5895} \approx 0,9703 \right.$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm ta được 0,97. Do đó mệnh đề c đúng.

Xét ý d: Ta cần tìm xác suất bị cáo vô tội biết rằng họ bị kết án lần 1 nhưng trắng án lần 2, tức là tính $\left. P(V \middle| K_{1} \cap \overline{K_{2}}) \right.$.

Xác suất để một bị cáo rơi vào trường hợp bị kết án lần 1 nhưng trắng án lần 2 là:

$P(K_{1} \cap \overline{K_{2}}) = P(T \cap K_{1} \cap \overline{K_{2}}) + P(V \cap K_{1} \cap \overline{K_{2}})$

$\left. = P(T) \cdot P(K_{1} \middle| T) \cdot P(\overline{K_{2}} \middle| T \cap K_{1}) + P(V) \cdot P(K_{1} \middle| V) \cdot P(\overline{K_{2}} \middle| V \cap K_{1}) \right.$

$= 0,65 \cdot 0,88 \cdot 0,07 + 0,35 \cdot 0,05 \cdot 0,98 = 0,04004 + 0,01715 = 0,05719$.

Áp dụng công thức Bayes:

$\left. P(V \middle| K_{1} \cap \overline{K_{2}}) = \dfrac{P(V \cap K_{1} \cap \overline{K_{2}})}{P(K_{1} \cap \overline{K_{2}})} = \dfrac{0,01715}{0,05719} \approx 0,2998 \right.$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần chục ta được 0,3. Giá trị này khác với 0,4. Do đó mệnh đề d sai.

Đáp án cần chọn là: A; C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.