Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc ĐGNL HSA; V-ACT; Sư phạm Hà Nội
↪ ĐGNL Hà Nội (HSA) - Trạm 6 ↪ ĐGNL Hồ Chí Minh (V-ACT) - Trạm 7 ↪ ĐGNL Sư phạm Hà Nội - Trạm số 3
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hàm số $y = f(x) = \log_{2}\left( \dfrac{\sqrt{2x^{2} + mx + 1}}{x + 2} \right)$. Những phương

Câu hỏi số 957368:
Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x) = \log_{2}\left( \dfrac{\sqrt{2x^{2} + mx + 1}}{x + 2} \right)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

Đáp án đúng là: A; C; D; E

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:957368
Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất của hàm số logarit, tính đạo hàm, giải phương trình chứa căn, phương trình logarit bằng phương pháp hàm số đặc trưng và ứng dụng định lí Vi-ét để tìm điều kiện của tham số.

Giải chi tiết

Hàm số $y = f(x) = \log_{2}\left( \dfrac{\sqrt{2x^{2} + mx + 1}}{x + 2} \right)$.

Điều kiện xác định: $\left. \dfrac{\sqrt{2x^{2} + mx + 1}}{x + 2} > 0\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {2x^{2} + mx + 1 > 0} \\ {x + 2 > 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {2x^{2} + mx + 1 > 0} \\ {x > - 2} \end{array} \right. \right.$

1 Đúng. Khi $m = 0$, ta có $f(x) = \log_{2}\left( \dfrac{\sqrt{2x^{2} + 1}}{x + 2} \right)$.

Trên khoảng $( - 2; + \infty)$, $x + 2 > 0$ và $2x^{2} + 1 > 0$, hàm số được viết lại:

$f(x) = \log_{2}(\sqrt{2x^{2} + 1}) - \log_{2}(x + 2) = \dfrac{1}{2}\log_{2}(2x^{2} + 1) - \log_{2}(x + 2)$.

Đạo hàm của hàm số là:

$\begin{array}{l} {y' = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{(2x^{2} + 1)}'}{(2x^{2} + 1)\ln 2} - \dfrac{{(x + 2)}'}{(x + 2)\ln 2}} \\ {= \dfrac{4x}{2(2x^{2} + 1)\ln 2} - \dfrac{1}{(x + 2)\ln 2}} \\ {= \dfrac{2x}{(2x^{2} + 1)\ln 2} - \dfrac{1}{(x + 2)\ln 2}} \end{array}$.

2 Sai. Khi $m = 1$, ta có $f(x) = \log_{2}\left( \dfrac{\sqrt{2x^{2} + x + 1}}{x + 2} \right)$.

Phương trình $\left. f(x) = 1\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2x^{2} + x + 1}}{x + 2} = 2 \right.$.

Với điều kiện $x > - 2$, phương trình tương đương: $\sqrt{2x^{2} + x + 1} = 2(x + 2)$.

Bình phương hai vế ta được:

$\begin{array}{l} {2x^{2} + x + 1 = 4(x^{2} + 4x + 4)} \\ \left. \Leftrightarrow 2x^{2} + x + 1 = 4x^{2} + 16x + 16 \right. \\ \left. \Leftrightarrow 2x^{2} + 15x + 15 = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x_{1} = \dfrac{- 15 - \sqrt{105}}{4}\left( {KTM} \right)} \\ {x_{2} = \dfrac{- 15 + \sqrt{105}}{4}\left( {TM} \right)} \end{array} \right. \right. \end{array}$.

Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất.

3 Đúng. Khi $0 < m < 2\sqrt{2}$, ta xét tam thức $2u^{2} + mu + 1$.

Có $\Delta = m^{2} - 8 < 0$ (do $0 < m < 2\sqrt{2}$) và hệ số $a = 2 > 0$, nên $2u^{2} + mu + 1 > 0$ với mọi $u \in {\mathbb{R}}$.

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow g(x) = f(2 - x^{2}) \right. \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \log_{2}\left( \dfrac{\sqrt{2{(2 - x^{2})}^{2} + m(2 - x^{2}) + 1}}{2 - x^{2} + 2} \right)} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \log_{2}\left( \dfrac{\sqrt{2{(2 - x^{2})}^{2} + m(2 - x^{2}) + 1}}{4 - x^{2}} \right)} \end{array}$.

Vì biểu thức trong căn luôn dương với mọi $x$, nên điều kiện xác định của $g(x)$ chỉ phụ thuộc vào mẫu số: $\left. 4 - x^{2} > 0\Leftrightarrow - 2 < x < 2 \right.$.

Vậy tập xác định của $g(x)$ là $D = ( - 2;2)$.

4 Đúng. Hàm số đã cho xác định với mọi $x \in ( - 2; + \infty)$ khi và chỉ khi biểu thức trong logarit dương với mọi $x \in ( - 2; + \infty)$.

Vì $x > - 2$ nên $x + 2 > 0$, yêu cầu bài toán tương đương với $2x^{2} + mx + 1 > 0$ với mọi $x > - 2$.

Trường hợp 1: Nếu $\left. \Delta = m^{2} - 8 < 0\Leftrightarrow - 2\sqrt{2} < m < 2\sqrt{2} \right.$, thì $2x^{2} + mx + 1 > 0$ với mọi $x \in {\mathbb{R}}$, hiển nhiên thỏa mãn yêu cầu.

Trường hợp 2: Nếu $\left. \Delta = m^{2} - 8 \geq 0\Leftrightarrow m \geq 2\sqrt{2} \right.$ hoặc $m \leq - 2\sqrt{2}$, tam thức có hai nghiệm $x_{1} \leq x_{2}$.

Để $2x^{2} + mx + 1 > 0$ với mọi $x > - 2$, ta phải có $x_{1} \leq x_{2} \leq - 2$.

Điều kiện tương đương:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} \leq - 4} \\ {(x_{1} + 2)(x_{2} + 2) \geq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {- \dfrac{m}{2} \leq - 4} \\ {x_{1}x_{2} + 2(x_{1} + x_{2}) + 4 \geq 0} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m \geq 8} \\ {\dfrac{1}{2} - m + 4 \geq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m \geq 8} \\ {m \leq \dfrac{9}{2}} \end{array} \right. \right.$ (vô nghiệm).

Vậy hàm số xác định với mọi $x \in ( - 2; + \infty)$ khi và chỉ khi $m \in ( - 2\sqrt{2};2\sqrt{2})$.

5 Đúng. Phương trình $f(x) + \sqrt{2x^{2} + mx + 1} = x + 2$

$\left. \Leftrightarrow\log_{2}\left( \dfrac{\sqrt{2x^{2} + mx + 1}}{x + 2} \right) + \sqrt{2x^{2} + mx + 1} = x + 2 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\log_{2}(\sqrt{2x^{2} + mx + 1}) - \log_{2}(x + 2) + \sqrt{2x^{2} + mx + 1} = x + 2 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\log_{2}(\sqrt{2x^{2} + mx + 1}) + \sqrt{2x^{2} + mx + 1} = \log_{2}(x + 2) + (x + 2) \right.$.

Xét hàm số đặc trưng $h(t) = \log_{2}t + t$ trên khoảng $(0; + \infty)$.

Đạo hàm $h'(t) = \dfrac{1}{t\ln 2} + 1 > 0$ với mọi $t > 0$, suy ra hàm số $h(t)$ đồng biến trên $(0; + \infty)$.

Phương trình trở thành $\left. h(\sqrt{2x^{2} + mx + 1}) = h(x + 2)\Leftrightarrow\sqrt{2x^{2} + mx + 1} = x + 2 \right.$.

Với điều kiện $x > - 2$, bình phương hai vế ta được:

$\left. 2x^{2} + mx + 1 = x^{2} + 4x + 4\Leftrightarrow x^{2} + (m - 4)x - 3 = 0 \right.$ $(*)$.

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt, phương trình $(*)$ phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $- 2$.

$\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta > 0 \\ x_1 + x_2 + 4 > 0 \\ (x_1 + 2)(x_2 + 2) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (m - 4)^2 + 12 > 0 \text{ (LĐ)} \\ 4 - m + 4 > 0 \\ -3 + 2(4 - m) + 4 > 0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 8 - m > 0 \\ 9 - 2m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 8 \\ m < \frac{9}{2} \end{cases} \Leftrightarrow m < \frac{9}{2}$

Vậy $m \in \left( {- \infty;\dfrac{9}{2}} \right)$.

Đáp án cần chọn là: A; C; D; E

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn