Cho tứ diện ABCD có $AB\bot(BCD)$ và tam giác BCD vuông tại C. Biết $BC = a,BD =
Cho tứ diện ABCD có $AB\bot(BCD)$ và tam giác BCD vuông tại C. Biết $BC = a,BD = 2a,AD = a\sqrt{5}$. Những phương án nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: A; D
Quảng cáo
Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3}S \cdot h$.
Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng đoạn vuông góc chung hoặc phương pháp tọa độ.
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz để giải quyết nhanh bài toán khoảng cách chéo nhau và góc giữa hai mặt phẳng.
Xét tam giác BCD vuông tại C có $CD = \sqrt{BD^{2} - BC^{2}} = \sqrt{{(2a)}^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}$.
Diện tích tam giác BCD là $S_{BCD} = \dfrac{1}{2}BC \cdot CD = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{3} = \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$.
Vì $AB\bot(BCD)$ nên $\Delta ABD$ vuông tại B, ta có: $AB = \sqrt{AD^{2} - BD^{2}} = \sqrt{5a^{2} - 4a^{2}} = a$.
1 Đúng. Thể tích khối tứ diện ABCD là $V = \dfrac{1}{3} \cdot AB \cdot S_{BCD} = \dfrac{1}{3} \cdot a \cdot \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$.
2 Sai. Ta có $\left. AB\bot(BCD)\Rightarrow AB\bot CD \right.$.
Mặt khác $CD\bot BC$ (do $\Delta BCD$ vuông tại C).
Suy ra BC là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD chính là độ dài đoạn BC
Suy ra $d(AB,CD) = a$.
3 Sai. 4 Sai. Dựng hệ trục tọa độ Oxyz với gốc tọa độ $B(0;0;0)$.
Tia Bx trùng với tia BC nên $C(a;0;0)$.
Vì $AB\bot(BCD)$ nên tia Bz chứa A. Do $AB = a$ nên $A(0;0;a)$.
Trong mặt phẳng (Oxy), điểm D có hoành độ bằng a (vì $CD\bot BC$) và tung độ $CD = a\sqrt{3}$ nên $D(a;a\sqrt{3};0)$.
Ta có $\overset{\rightarrow}{AC} = (a;0; - a)$ và $\overset{\rightarrow}{BD} = (a;a\sqrt{3};0)$.
Tích có hướng $\lbrack\overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{BD}\rbrack = (a^{2}\sqrt{3}; - a^{2};a^{2}\sqrt{3})$.
Vectơ $\overset{\rightarrow}{AB} = (0;0; - a)$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD là:
$d(AC,BD) = \dfrac{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{BD}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{AB} \right|}{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{BD}\rbrack \right|} = \dfrac{\left| {0 + 0 + ( - a^{2}\sqrt{3})( - a)} \right|}{\sqrt{{(a^{2}\sqrt{3})}^{2} + {( - a^{2})}^{2} + {(a^{2}\sqrt{3})}^{2}}} = \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{\sqrt{7a^{4}}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
5 Đúng. Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại B ($BA = BC = a$) và H là hình chiếu của B trên AC nên H là trung điểm của AC.
Tọa độ điểm $H\left( {\dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2}} \right)$.
Trong $\Delta ABD$ vuông tại B, có đường cao BK, ta có $AK = \dfrac{AB^{2}}{AD} = \dfrac{a^{2}}{a\sqrt{5}} = \dfrac{a}{\sqrt{5}}$.
Suy ra tỉ số $\left. \dfrac{AK}{AD} = \dfrac{1}{5}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AK} = \dfrac{1}{5}\overset{\rightarrow}{AD} \right.$.
Tọa độ $K = A + \dfrac{1}{5}\overset{\rightarrow}{AD} = (0;0;a) + \dfrac{1}{5}(a;a\sqrt{3}; - a) = \left( {\dfrac{a}{5};\dfrac{a\sqrt{3}}{5};\dfrac{4a}{5}} \right)$.
Ta có $\overset{\rightarrow}{BH} = \left( {\dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2}} \right)$ và $\overset{\rightarrow}{BK} = \left( {\dfrac{a}{5};\dfrac{a\sqrt{3}}{5};\dfrac{4a}{5}} \right)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BHK) là ${\overset{\rightarrow}{n}}_{1} = \lbrack\overset{\rightarrow}{BH},\overset{\rightarrow}{BK}\rbrack = \left( {- \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{10}; - \dfrac{3a^{2}}{10};\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{10}} \right)$.
Chọn ${\overset{\rightarrow}{n}}_{1} = (1;\sqrt{3}; - 1)$
Mặt phẳng (BCD) là mặt phẳng (Oxy) nên có vectơ pháp tuyến ${\overset{\rightarrow}{n}}_{2} = (0;0;1)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng (BHK) và (BCD), ta có:
$\cos\alpha = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{n}}_{1} \cdot {\overset{\rightarrow}{n}}_{2} \right|}{\left| {\overset{\rightarrow}{n}}_{1} \middle| \cdot \middle| {\overset{\rightarrow}{n}}_{2} \right|} = \dfrac{| - 1|}{\sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} + {( - 1)}^{2}} \cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
Từ đó suy ra $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^{2}\alpha} = \sqrt{1 - \left( \dfrac{\sqrt{5}}{5} \right)^{2}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
Đáp án cần chọn là: A; D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
