Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc ĐGNL HSA; V-ACT; Sư phạm Hà Nội
↪ ĐGNL Hà Nội (HSA) - Trạm 6 ↪ ĐGNL Hồ Chí Minh (V-ACT) - Trạm 7 ↪ ĐGNL Sư phạm Hà Nội - Trạm số 3
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $(S):x^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 29$, hai điểm $A(0;0;4)$,

Câu hỏi số 960662:
Thông hiểu

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $(S):x^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 29$, hai điểm $A(0;0;4)$, $B(6; - 2;6)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x - 4}{1} = \dfrac{y + 8}{- 1} = \dfrac{z - 4}{2}$. Gọi $M$ là điểm thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho $\widehat{AMB} = 90^{o}$.

Đúng Sai
a) Điểm A nằm trên mặt cầu $(S)$ và điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.
b) Đường thẳng d là tiếp tuyến của mặt cầu $(S)$.
c) Điểm M nằm trên mặt phẳng $(P):x - y + 2z - 8 = 0$.
d) Gọi $(a;b;c)$ là tọa độ của điểm M khi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d ngắn nhất. Giá trị của biểu thức $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ bằng 10.

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:960662
Phương pháp giải

Kiểm tra vị trí tương đối của điểm và mặt cầu bằng cách tính khoảng cách đến tâm.

Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng.

Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện góc vuông thông qua tích vô hướng vectơ.

Tìm điểm trên một đường tròn cố định trong không gian có khoảng cách ngắn nhất tới một đường thẳng cho trước.

Giải chi tiết

a) Đúng: Mặt cầu có tâm $I(0;2; - 1)$, bán kính $R = \sqrt{29}$.

$\left. IA = \sqrt{0^{2} + {( - 2)}^{2} + 5^{2}} = \sqrt{29} = R\Rightarrow A \in (S) \right.$.

$\left. IB = \sqrt{6^{2} + {( - 4)}^{2} + 7^{2}} = \sqrt{101} > R\Rightarrow B \right.$ nằm ngoài $(S)$.

b) Sai: Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là $d(I,d) = \sqrt{45} \neq R$, do đó d không phải tiếp tuyến.

c) Đúng: $\left. \angle AMB = 90^{{^\circ}}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{MA} \cdot \overset{\rightarrow}{MB} = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow x(x - 6) + y(y + 2) + (z - 4)(z - 6) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x + 2y - 10z + 24 = 0 \right.$.

Ta có hệ phương trình:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x + 2y - 10z + 24 = 0} \\ {x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4y + 2z - 24 = 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow x - y + 2z - 8 = 0 \right.$

Vậy M nằm trên mặt phẳng $(P):x - y + 2z - 8 = 0$.

d) Sai: Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P = (1;-1;2)$, cùng phương với vectơ chỉ phương $\vec{u}_d = (1;-1;2)$ của $d$, suy ra $d \perp (P)$.

Gọi $K$ là giao điểm của $d$ và $(P)$.

Tọa độ $K$ ứng với giá trị $t$ thỏa mãn:

$(4+t) - (-8-t) + 2(4+2t) - 8 = 0 \Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = -2$.

Suy ra $K(2;-6;0)$. 

Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn bài toán là đường tròn giao tuyến $(C)$ của $(S)$ và $(P)$.

Tâm $J'$ của đường tròn $(C)$ là hình chiếu vuông góc của $I(0;2;-1)$ lên $(P)$.

Gọi đường thẳng qua $I$ vuông góc với $(P)$ là $\Delta$, ta tìm được giao điểm của $\Delta$ và $(P)$ là $J'(2;0;3)$.

Bán kính đường tròn $(C)$ là $r = \sqrt{R^2 - IJ'^2} = \sqrt{29 - (2^2 + (-2)^2 + 4^2)} = \sqrt{29-24} = \sqrt{5}$.

Vì $d \perp (P)$ tại $K$ và $M \in (P)$ nên khoảng cách từ $M$ đến $d$ chính là độ dài đoạn $MK$.

Ta cần tìm $M \in (C)$ sao cho $MK$ ngắn nhất.

Khoảng cách giữa tâm $J'$ và $K$ là $J'K = \sqrt{0^2 + (-6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

Do $J'K > r$, điểm $K$ nằm ngoài đường tròn $(C)$.

Đoạn $MK$ ngắn nhất khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $J'K$ với đường tròn $(C)$.

Khi đó vectơ $\vec{J'M}$ cùng hướng với $\vec{J'K}$ và độ dài bằng $r$, ta có:

$\vec{J'M} = \dfrac{r}{J'K}\vec{J'K} = \dfrac{\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}\vec{J'K} = \dfrac{1}{3}\vec{J'K}$.

Ta có $\vec{J'K} = (0;-6;-3) \Rightarrow \vec{J'M} = (0;-2;-1)$.

Với $J'(2;0;3)$, suy ra $M(2;-2;2)$.

Do đó $a=2, b=-2, c=2$.

Giá trị biểu thức $T = a^2 + b^2 + c^2 = 2^2 + (-2)^2 + 2^2 = 12 \neq 10$.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn